Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 9 & 4 \\ 2 & 1 \end{array}] X = [\begin{array}{c} 0 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Passaggio 1

Find the inverse of $[\begin{array}{c} 9 & 4 \\ 2 & 1 \end{array}]$ .

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Passaggio 1.1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Passaggio 1.2

Find the determinant.

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Passaggio 1.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$9 \cdot 1 - 2 \cdot 4$

Passaggio 1.2.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 1.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.2.2.1.1

Moltiplica $9$ per $1$ .

$9 - 2 \cdot 4$

Passaggio 1.2.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$9 - 8$

Passaggio 1.2.2.2

Sottrai $8$ da $9$ .

$1$

Passaggio 1.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Passaggio 1.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{1} [\begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 2 & 9 \end{array}]$

Passaggio 1.5

Dividi $1$ per $1$ .

$1 [\begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 2 & 9 \end{array}]$

Passaggio 1.6

Moltiplica $1$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 1 & 1 \cdot - 4 \\ 1 \cdot - 2 & 1 \cdot 9 \end{array}]$

Passaggio 1.7

Semplifica ogni elemento nella matrice.

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Passaggio 1.7.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \cdot - 4 \\ 1 \cdot - 2 & 1 \cdot 9 \end{array}]$

Passaggio 1.7.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 \\ 1 \cdot - 2 & 1 \cdot 9 \end{array}]$

Passaggio 1.7.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 2 & 1 \cdot 9 \end{array}]$

Passaggio 1.7.4

Moltiplica $9$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 2 & 9 \end{array}]$

Passaggio 2

Multiply both sides by the inverse of $[\begin{array}{c} 9 & 4 \\ 2 & 1 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 2 & 9 \end{array}] [\begin{array}{c} 9 & 4 \\ 2 & 1 \end{array}] X = [\begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 2 & 9 \end{array}] [\begin{array}{c} 0 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Passaggio 3

Semplifica l'equazione.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $[\begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 2 & 9 \end{array}] [\begin{array}{c} 9 & 4 \\ 2 & 1 \end{array}]$ .

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Passaggio 3.1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 2$ .

Passaggio 3.1.2

Moltiplica ogni riga nella prima matrice per ogni colonna nella seconda matrice.

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 9 - 4 \cdot 2 & 1 \cdot 4 - 4 \cdot 1 \\ - 2 \cdot 9 + 9 \cdot 2 & - 2 \cdot 4 + 9 \cdot 1 \end{array}] X = [\begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 2 & 9 \end{array}] [\begin{array}{c} 0 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Passaggio 3.1.3

Semplifica ogni elemento della matrice moltiplicando tutte le espressioni.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] X = [\begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 2 & 9 \end{array}] [\begin{array}{c} 0 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Passaggio 3.2

Multiplying the identity matrix by any matrix $A$ is the matrix $A$ itself.

$X = [\begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 2 & 9 \end{array}] [\begin{array}{c} 0 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Passaggio 3.3

Moltiplica $[\begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 2 & 9 \end{array}] [\begin{array}{c} 0 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Passaggio 3.3.2

Moltiplica ogni riga nella prima matrice per ogni colonna nella seconda matrice.

$X = [\begin{array}{c} 1 \cdot 0 - 4 \cdot 3 & 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 2 \\ - 2 \cdot 0 + 9 \cdot 3 & - 2 \cdot - 1 + 9 \cdot 2 \end{array}]$

Passaggio 3.3.3

Semplifica ogni elemento della matrice moltiplicando tutte le espressioni.

$X = [\begin{array}{c} - 12 & - 9 \\ 27 & 20 \end{array}]$